BAB I
Himpunan
3.1
Dasar-Dasar Teori Himpunan
·
Himpunan (set)
adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.
·
Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
3.1.1 Cara Penyajian Himpunan
1. Enumerasi
Contoh 3.1
·
Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.
·
Himpunan lima bilangan genap positif
pertama: B = {4, 6, 8, 10}.
·
C =
{kucing, a, Amir, 10, paku}
·
R = { a,
b, {a, b, c}, {a, c}
}
·
C = {a,
{a}, {{a}} }
·
K = { {} }
·
Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }
·
Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2,
…}.
Keanggotaan
x Î A : x merupakan anggota himpunan A;
x Ï A : x bukan merupakan anggota himpunan A.
Contoh 3.2
Misalkan: A = {1, 2, 3, 4}, R = { a,
b, {a, b, c}, {a, c}
}
K = {{}}
maka
3 A
5 A
{a, b,
c} Î R
c Ï R
{}
Î K
{} Ï R
Contoh 3.3 Bila P1
= {a, b}, P2 = { {a, b}
}, P3 = {{{a, b}}},
maka
a Î P1
a Ï P2
P1 Î P2
P1 Ï P3
P2 Î P3
2.
Simbol-simbol Baku
P = himpunan bilangan bulat positif = { 1,
2, 3, ... }
N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1,
2, ... }
Z = himpunan bilangan bulat = {
..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
·
Himpunan yang universal: semesta,
disimbolkan dengan U.
Contoh:
Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5}
dan A adalah himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.
3. Notasi Pembentuk Himpunan
Notasi: { x ú syarat yang harus dipenuhi
oleh x }
Contoh 3.4
(i) A adalah
himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5
A = { x | x adalah bilangan bulat
positif lebih kecil dari 5}
atau
A =
{ x | x P, x
< 5 }
yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3,
4}
(ii) M = { x | x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah
matematika diskrit}
4. Diagram Venn
Contoh 3.5
Misalkan U = {1, 2, …, 7,
8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B =
{2, 5, 6, 8}.
Diagram Venn:
Gambar 3.1
3.1.2 Kardinalitas
·
Jumlah elemen di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.
·
Notasi: n(A) atau êA ê
Contoh 3.6
(i) B = { x | x merupakan bilangan prima yang lebih
kecil dari 20 },
atau B = {1, 3, 5,
7, 11, 13, 17, 19} maka ½B½ = 8
(ii) T =
{kucing, a, Amir, 10, paku}, maka ½T½ = 5
(iii) A =
{a, {a}, {{a}} }, maka ½A½ = 3
3.1.3 Himpunan Kosong
·
Himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (null set).
·
Notasi : Æ atau {}
Contoh 3.7
(i) E
= { x | x < x }, maka n(E)
= 0
(ii) P =
{ orang Indonesia yang pernah ke bulan }, maka n(P) = 0
(iii) A = {x | x
adalah akar persamaan kuadrat x2
+ 1 = 0 }, n(A) = 0
·
himpunan {{ }} dapat juga ditulis
sebagai {Æ}
·
himpunan {{ }, {{ }}} dapat juga
ditulis sebagai {Æ, {Æ}}
·
{Æ} bukan himpunan kosong karena ia memuat satu elemen yaitu himpunan kosong.
3.1.4 Himpunan Bagian (Subset)
·
Himpunan
A dikatakan himpunan bagian dari
himpunan B jika dan hanya jika setiap
elemen A merupakan elemen dari B.
·
Dalam
hal ini, B dikatakan superset dari A.
·
Notasi:
A
Í B
·
Diagram Venn :
Gambar 3.2
Contoh 3.8
(i) { 1, 2, 3} Í {1, 2, 3, 4, 5}
(ii) {1, 2, 3} Í {1, 2, 3}
(iii) N
Z R C
(iv) Jika A = { (x, y) | x + y
< 4, x ³ 0, y ³ 0 } dan
B
= { (x, y) | 2x + y < 4, x ³ 0 dan y ³ 0 }, maka B A.
TEOREMA
1. Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal sebagai
berikut:
(a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A A).
(b) Himpunan kosong merupakan
himpunan bagian dari A ( A).
(c) Jika A Í B dan B Í C, maka A Í C
·
A dan A A, maka dan A disebut
himpunan bagian tak sebenarnya (improper
subset) dari himpunan A.
Contoh : A = {1, 2, 3}, maka {1, 2, 3} dan Æ adalah improper
subset dari A.
·
A Í B berbeda dengan A Ì B
(i)
A Ì B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A ¹ B.
A adalah himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B.
Contoh : {1} dan
{2, 3} adalah proper subset dari {1, 2, 3}
(ii) A
Í B : digunakan untuk menyatakan
bahwa A adalah himpunan bagian (subset)
dari B yang memungkinkan A = B.
3.1.5 Himpunan yang Sama
·
A = B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen B dan
sebaliknya setiap elemen B merupakan
elemen A.
·
A = B jika A adalah himpunan bagian dari B
dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A
¹ B.
·
Notasi : A = B
« A Í B dan B Í A
Contoh 3.9
(i) Jika A
= { 0, 1 } dan B = { x | x
(x – 1) = 0 }, maka A = B
(ii) Jika A
= { 3, 5, 8 } dan B = {5, 3, 8 },
maka A = B
(iii) Jika A = { 3, 5, 8 } dan B = {3, 8}, maka A ¹ B
Untuk tiga buah himpunan, A, B,
dan C berlaku aksioma berikut:
(a) A = A, B = B, dan C = C
(b) jika A = B,
maka B = A
(c) jika A = B
dan B = C, maka A = C
3.1.6 Himpunan yang Ekivalen
·
Himpunan A
dikatakan ekivalen dengan himpunan B
jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.
·
Notasi : A ~ B
« ½A½ = ½B½
Contoh 3.10
Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d
}, maka A ~ B sebab ½A½ = ½B½ = 4
3.1.7 Himpunan Saling Lepas
·
Dua himpunan A dan B dikatakan saling
lepas (disjoint) jika keduanya tidak
memiliki elemen yang sama.
·
Notasi : A // B
·
Diagram Venn:
Gambar 3.3
Contoh 3.11
Jika A = { x | x P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, ... }, maka A
// B.
3.1.8 Himpunan Kuasa
·
Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang
elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan
kosong dan himpunan A sendiri.
·
Notasi : P(A) atau 2A
·
Jika ½A½ = m, maka ½P(A)½ = 2m.
Contoh 3.12
Jika A = { 1, 2 }, maka P(A) = { , { 1 }, { 2 }, { 1, 2 }}
Contoh 3.13
Himpunan kuasa dari himpunan
kosong adalah P(Æ) = {Æ}, dan himpunan kuasa dari
himpunan {Æ} adalah P({Æ}) = {Æ, {Æ}}.
3.2 Operasi Terhadap Himpunan
a. Irisan (intersection)
·
Notasi : A Ç B = { x | x Î A dan x Î B }
 |
Gambar 3.4
Contoh 3.14
(i) Jika A
= {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10,
14, 18},
maka A
Ç B = {4, 10}
(ii) Jika A
= { 3, 5, 9 } dan B = { -2, 6 }, maka
A B = .
Artinya:
A // B
b. Gabungan (union)
·
Notasi : A È B = { x | x Î A atau x Î B }
 |
Gambar 3.5
Contoh 3.15
(i) Jika A
= { 2, 5, 8 } dan B = { 7, 5, 22 },
maka A B = { 2, 5, 7, 8,
22 }
(ii) A = A
c. Komplemen (complement)
·
Notasi : 
= { x | x Î U, x Ï A }
= { x | x Î U, x Ï A } |
Gambar 3.6
Contoh 3.16
Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },
(i)
jika A = {1, 3, 7,
9}, maka = {2, 4, 6, 8}
= {2, 4, 6, 8}
(ii)
jika A = { x | x/2
P, x < 9 }, maka = { 1, 3, 5, 7, 9 }
= { 1, 3, 5, 7, 9 }
Contoh 3.17 Misalkan:
A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri
B = himpunan semua mobil impor
C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 1990
D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp 100
juta
E = himpunan semua mobil milik mahasiswa universitas tertentu
(i) “mobil mahasiswa di
universitas ini produksi dalam negeri atau diimpor dari luar negeri” à (E Ç A) È (E Ç B) atau E Ç (A È B)
(ii) “semua mobil produksi dalam negeri
yang dibuat sebelum tahun 1990 yang nilai jualnya kurang dari Rp 100 juta” à A Ç C
Ç D
(iii) “semua mobil impor buatan setelah
tahun 1990 mempunyai nilai jual lebih dari Rp 100 juta” à 
d. Selisih (difference)
·
Notasi : A – B = { x | x Î A dan x Ï B }
= A Ç 
 |
Gambar 3.7
Contoh 3.18
(i) Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B
= { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } dan B – A
=
(ii) {1, 3, 5} – {1, 2, 3} = {5},
tetapi {1, 2, 3} – {1, 3, 5} = {2}
e. Beda Setangkup (Symmetric Difference)
·
Notasi: A Å B = (A È B) – (A Ç B) = (A – B)
È (B – A)
Contoh 3.19
Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = {
2, 3, 5 }, maka A B = { 3, 4, 5, 6 }
Contoh 3.20 Misalkan
U = himpunan mahasiswa
P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80
Q = himpunan mahasiswa yang
nilain ujian UAS di atas 80
Seorang
mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80,
mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika
kedua ujian di bawah 80.
(i) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai A” : P Ç Q
(ii) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P Å Q
(iii)
“Semua
mahasiswa yang mendapat nilai C” : U
– (P È Q)
TEOREMA 2. Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut:
(a)
A Å B = B Å A (hukum komutatif)
(b) (A Å B ) Å C = A
Å (B Å C ) (hukum asosiatif)
f. Perkalian Kartesian (cartesian product)
·
Notasi: A ´ B = {(a, b)
½ a Î A dan b Î B }
Contoh 3.21
(i) Misalkan C
= { 1, 2, 3 }, dan D = { a, b }, maka
C ´ D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
C ´ D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
(ii) Misalkan A
= B = himpunan semua bilangan riil,
maka
A ´ B = himpunan semua titik di bidang datar
A ´ B = himpunan semua titik di bidang datar
Catatan :
1. Jika A dan B merupakan
himpunan berhingga, maka: ½A ´ B½ = ½A½ . ½B½.
2. Pasangan berurutan (a, b)
berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b)
¹ (b, a).
3. Perkalian kartesian tidak
komutatif, yaitu A ´ B ¹ B ´ A dengan syarat A atau B tidak kosong.
Pada Contoh 20(i) di atas, D ´ C =
{(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) } ¹ C ´ D.
4. Jika A
= Æ
atau B = Æ,
maka A ´ B = B ´ A = Æ
Contoh 3.22 Misalkan
A = himpunan makanan = { s = soto, g = gado-gado, n = nasi goreng, m = mie rebus }
B = himpunan minuman = { c
= coca-cola, t = teh, d = es dawet }
Berapa banyak kombinasi
makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di atas ?
Penyelesaian :
½A ´ B½ = ½A½×½B½ = 4 × 3 = 12 kombinasi dan minuman, yaitu {(s, c), (s, t),
(s, d), (g, c), (g,
t), (g, d), (n, c),
(n, t), (n, d), (m,
c), (m, t), (m, d)}.
Contoh 3.23 Daftarkan semua anggota himpunan berikut:
(a) P(Æ) (b) Æ ´ P(Æ) (c) {Æ}´ P(Æ)
Penyelesaian :
(a) P(Æ) = {Æ}
(b)
Æ ´ P(Æ) = Æ (ket: jika A = Æ atau B = Æ maka A ´ B = Æ)
(c) {Æ}´ P(Æ) = {Æ}´ {Æ} = {(Æ,Æ))
3.3 Hukum-hukum Himpunan
1. Hukum identitas:
A = A
A U = A
|
2. Hukum null/dominasi:
A =
A U = U
|
3. Hukum komplemen:
A
 = U
A
= |
4. Hukum idempoten:
A A = A
A A = A
|
5. Hukum involusi:
 = A |
6. Hukum penyerapan (absorpsi): ok
A (A B) = A
A (A B) = A
|
7. Hukum komutatif OK:
A B = B A
A B = B A
|
8. Hukum asosiatif:
A (B C) = (A B) C
A (B C) = (A B) C
|
9. Hukum
distributif:
A (B C) = (A B) (A C)
A (B C) = (A B) (A C)
|
10. Hukum De Morgan:
 =   =  |
11. Hukum 0/1
 = U = Æ |
 |
3.4 Prinsip
Dualitas
·
Prinsip dualitas: dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan
namun tetap memberikan jawaban yang benar.
Contoh: AS à kemudi mobil di kiri depan
Inggris
(juga Indonesia) à kemudi mobil di kanan depan
Peraturan:
(a)
di Amerika Serikat,
- mobil harus berjalan di bagian kanan
jalan,
-
pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk
mendahului,
-
bila lampu merah menyala, mobil belok kanan
boleh langsung
(b)
di Inggris,
-
mobil harus berjalan di bagian kiri
jalan,
-
pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan
untuk mendahului,
-
bila lampu merah menyala, mobil belok kiri
boleh langsung
Prinsip
dualitas:
Konsep kiri dan kanan dapat
dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehingga peraturan yang berlaku di
Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Inggris.
·
(Prinsip Dualitas pada Himpunan). Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti , , dan komplemen. Jika S* diperoleh dari S dengan mengganti ® , ® , ®
U, U ® , sedangkan komplemen
dibiarkan seperti semula, maka kesamaan S*
juga benar dan disebut dual dari kesamaan S.
1. Hukum identitas:
A = A
|
Dualnya:
A U = A
|
2. Hukum null/dominasi:
A =
|
Dualnya:
A U = U
|
3. Hukum komplemen:
A
= U |
Dualnya:
A
= |
4. Hukum idempoten:
A A = A
|
Dualnya:
A A = A
|
5. Hukum
penyerapan:
A
(A B) = A
|
Dualnya:
A
(A B) = A
|
6. Hukum
komutatif:
A
B = B A
|
Dualnya:
A
B = B A
|
7. Hukum
asosiatif:
A (B C) = (A B) C
|
Dualnya:
A (B C) = (A B) C
|
8. Hukum distributif:
A (B C)=(A B) (A C)
|
Dualnya:
A (B C) = (A B) (A C)
|
9. Hukum De Morgan:
= |
Dualnya:
= |
10. Hukum 0/1
= U |
Dualnya:
= Æ |
Contoh 3.24 Dual dari (A B) (A ) = A adalah
) = A adalah
(A B) (A ) = A.
) = A.
3.5 Partisi
- Partisi dari sebuah himpunan A adalah sekumpulan himpunan bagian tidak kosong A1, A2, … dari A sedemikian sehingga:
(a)
A1 È A2
È … = A, dan
(b)
Ai Ç Aj
= Æ untuk i ¹ j
Contoh 3.25 Misalkan A = {1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka { {1}, {2, 3, 4}, {7, 8}, {5, 6} } adalah partisi A.
3.6 Himpunan Ganda
- Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut himpunan ganda (multiset).
Contohnya,
{1, 1, 1, 2, 2, 3}, {2, 2, 2}, {2, 3, 4}, {}.
- Multiplisitas dari suatu elemen pada himpunan ganda adalah jumlah kemunculan elemen tersebut pada himpunan ganda. Contoh: M = { 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 }, multiplisitas 0 adalah 4.
- Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari suatu multiset, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap elemennya adalah 0 atau 1.
- Kardinalitas dari suatu multiset didefinisikan sebagai kardinalitas himpunan padanannya (ekivalen), dengan mengasumsikan elemen-elemen di dalam multiset semua berbeda.
3.7 Operasi Antara Dua Buah Multiset
Misalkan P dan Q adalah multiset:
1. P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya
sama dengan multiplisitas maksimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q.
Contoh: P = { a, a, a,
c, d, d } dan Q ={ a,
a, b, c, c },
P Q = { a, a, a, b, c, c, d,
d }
2.
P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas
minimum elemen tersebut pada himpunan P
dan Q.
Contoh: P = { a, a, a,
c, d, d } dan Q = { a, a, b, c,
c }
P Q = { a, a, c }
3. P – Q adalah suatu multiset
yang multiplisitas elemennya sama dengan:
multiplisitas elemen
tersebut pada P dikurangi
multiplisitasnya pada Q, jika
selisihnya positif
0,
jika selisihnya nol atau negatif.
Contoh: P = { a, a, a,
b, b, c, d, d,
e } dan Q = { a, a, b, b,
b, c,
c, d, d, f } maka P – Q = { a,
e }
4. P + Q, yang
didefinisikan sebagai jumlah (sum)
dua buah himpunan ganda, adalah suatu multiset
yang multiplisitas elemennya sama dengan penjumlahan dari multiplisitas elemen
tersebut pada P dan Q.
Contoh: P = { a, a, b,
c, c } dan Q = { a, b,
b, d },
P + Q = { a, a,
a, b, b, b, c,
c, d }
3.8 Pembuktian
Pernyataan Perihal Himpunan
·
Pernyataan
himpunan adalah argumen yang menggunakan notasi himpunan.
·
Pernyataan
dapat berupa:
1. Kesamaan (identity)
Contoh: Buktikan “A Ç (B
È C) = (A Ç B)
È (A Ç C)”
2. Implikasi
Contoh:
Buktikan bahwa “Jika A Ç B = Æ dan A Í (B È C) maka selalu berlaku bahwa A Í C”.
1. Pembuktian dengan
menggunakan diagram Venn
Contoh 3.26
Misalkan A, B, dan C adalah himpunan.
Buktikan A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C) dengan diagram Venn.
 |
 |
Bukti:
A Ç (B È C) (A Ç B) È (A Ç C)
Gambar 3.8
Kedua diagram Venn memberikan area arsiran yang sama.
Terbukti bahwa A Ç (B
È C) = (A Ç B)
È (A Ç C).
·
Diagram
Venn hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak
jumlahnya.
·
Metode
ini mengilustrasikan ketimbang
membuktikan fakta. Diagram Venn tidak
dianggap sebagai metode yang valid untuk pembuktian secara formal.
2. Pembuktikan dengan menggunakan tabel keanggotaan
Contoh 3.27
Misalkan A, B, dan C adalah himpunan.
Buktikan bahwa A Ç (B È C)
= (A Ç B)
È (A Ç C).
Bukti:
Tabel 3.1
A
|
B
|
C
|
B È C
|
A Ç (B È C)
|
A Ç B
|
A Ç C
|
(A Ç B) È (A Ç C)
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
Karena kolom A Ç (B È C) dan kolom (A Ç B) È (A Ç C) sama, maka A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C).
3. Pembuktian dengan menggunakan
aljabar himpunan.
Contoh 3.28 Misalkan A dan B himpunan. Buktikan
bahwa (A Ç B) È (A Ç ) = A
) = A
Bukti:
(A Ç B) È (A Ç )
= A Ç (B È ) (Hukum
distributif)
)
= A Ç (B È ) (Hukum
distributif)
= A
Ç U (Hukum komplemen)
= A (Hukum identitas)
Contoh 3.29 Misalkan A
dan B himpunan. Buktikan bahwa A È (B – A) = A È B
Bukti:
A È (B – A) = A
È (B Ç ) (Definisi
operasi selisih)
) (Definisi
operasi selisih)
= (A È B) Ç (A È ) (Hukum
distributif)
) (Hukum
distributif)
= (A È B) Ç U (Hukum komplemen)
= A
È B (Hukum identitas)
Contoh 3.30 Buktikan bahwa untuk
sembarang himpunan A dan B, bahwa
(i)
A È (Ç B) = A È B dan
Ç B) = A È B dan
(ii) A Ç (È B) = A Ç B
È B) = A Ç B
Bukti:
(i) A È ( Ç B) = ( A
È ) Ç (A Ç B) (H. distributif)
Ç B) = ( A
È ) Ç (A Ç B) (H. distributif)
= U
Ç (A Ç B) (H.
komplemen)
= A È B (H.
identitas)
(ii) adalah dual dari (i)
A Ç ( È B) = (A
Ç ) È (A Ç B) (H. distributif)
È B) = (A
Ç ) È (A Ç B) (H. distributif)
= Æ È (A Ç B) (H. komplemen)
= A Ç B (H.
identitas)
4. Pembuktian dengan menggunakan definisi
·
Metode ini digunakan untuk membuktikan pernyataan
himpunan yang tidak berbentuk kesamaan, tetapi pernyataan yang berbentuk
implikasi. Biasanya di dalam implikasi tersebut terdapat notasi himpunan bagian
(Í atau Ì).
Contoh 3.31 Misalkan A dan B himpunan. Jika A Ç B = Æ dan A Í (B È C) maka A Í C. Buktikan!
Bukti:
(i) Dari definisi himpunan bagian, P Í Q
jika dan hanya jika setiap x Î P juga Î Q.
Misalkan x Î A. Karena A Í (B È C), maka dari definisi himpunan bagian, x juga Î (B
È C).
Dari
definisi operasi gabungan (È), x Î (B È C)
berarti x Î B atau x Î C.
(ii) Karena x Î A dan A Ç B = Æ, maka x Ï B
Dari (i) dan (ii), x Î C
harus benar. Karena "x Î A juga berlaku x Î C, maka dapat disimpulkan A Í C .
Tidak ada komentar:
Posting Komentar